Il super eserciziario

Esercizio sulle norme L^p

Esercizio 1. (\bullet \circ \circ)

Sia data f \in L^2(-1,1) che ha norma \left\|f \right\|_2=5. Stabilire, se possibile, un limite superiore alla norma di f in f \in L^1(-1,1)

Svolgimento.

Utilizzando la disuguaglianza di Hölder otteniamo:

    \[\left\|f \right\|_1\leq \left\|f \right\|_2\cdot \left\|1 \right\|_2\]

ovvero

    \[\left\|f \right\|_1\leq \sqrt{\int_{-1}^{1}\left|f(x) \right|^2dx}\cdot\sqrt{\int_{-1}^{1}dx}=\left\|f \right\|_2\cdot \sqrt{2}\]

Essendo \left\|f \right\|_2=5, si trova il limite superiore cercato:

    \[\left\|f \right\|_1=5\sqrt{2}\]

Possiamo osservare che se prendiamo la funzione costante f(x)=k, con k \ge 0, non si riesce ad avere una limitazione stringente a quella ottenuta. Infatti in questo caso:

    \[\left\|f \right\|_1=\int_{-1}^1\left|k \right|dx=2k\]

    \[\left\|f \right\|_2=\sqrt{\int_{-1}^{1}\left|k \right|^2dx}=\sqrt{2}k\]

    \[\left\|1 \right\|_2=\sqrt{\int_{-1}^{1}dx}=\sqrt{2}\]

dove in questo caso vale l’uguaglianza.

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