Teoremi di Sylow – Il super eserciziario

Esercizi sul teorema di Sylow

Ricordiamo i teoremi di Sylow che applicheremo agli esercizi, come sempre, provare a farlo da soli e comprendere come applicare i teoremi di Sylow.

Teorema di Sylow

Sia  un gruppo finito con ordine , dove  è un numero primo e .

Primo teorema di Sylow (Esistenza): Esiste almeno un sottogruppo di  di ordine . Tale sottogruppo si chiama sottogruppo di Sylow .

Secondo teorema di Sylow (Coniugio): Tutti i sottogruppi di Sylow  di  sono coniugati tra loro, cioè se  e  sono sottogruppi di Sylow , allora esiste  tale che . In particolare, tutti i sottogruppi di Sylow per un dato primo hanno la stessa cardinalità.

Terzo teorema di Sylow (Numero dei Sylow): Sia  il numero dei sottogruppi di Sylow  di . Allora valgono le seguenti condizioni:

1) ;
2) , ossia  divide l'indice .

Queste condizioni limitano fortemente i possibili valori di .

Osservazioni: 
- Dal primo teorema di Sylow sappiamo che almeno un Sylow esiste sempre;
- Dal secondo teorema di Sylow segue che il numero  di Sylow è uguale al numero di orbite dell'azione per coniugio, quindi tutti i Sylow hanno la stessa dimensione.
- Dal terzo teorema di Sylow deduciamo che  è della forma  e divide , questo serve per contare quanti sottogruppi di Sylow ci sono.

Esercizio 1.
Quanti elementi di ordine 7 sono contenuti in un gruppo semplice di ordine 168 ?

Svolgimento

Applichiamo il teorema di Sylow, Si ha:


Vogliamo contare gli elementi di ordine 7. Dal terzo teorema di Sylow sappiamo che:



I divisori di 24 sono: 1,2,3,4,6,8,12,24.

Tra questi, quelli congruenti a  sono soltanto 1 e 8. Quindi le possibili scelte sono .

Se  allora il sottogruppo di 7-Sylow sarebbe unico e quindi normale in . Questo contraddice l'ipotesi che  sia semplice (un gruppo semplice non ha sottogruppi normali propri non banali). Pertanto deve essere .

Ogni sottogruppo di ordine 7 è ciclico (perché 7 è primo); dunque in ciascun sottogruppo di ordine 7 ci sono esattamente 7-1=6 elementi di ordine 7 (tutti gli elementi diversi dall'identità). Se  e  sono due sottogruppi di 7-Sylow distinti, allora  e , pertanto . Quindi gli elementi di ordine 7 dei diversi sottogruppi si ottengono senza sovrapposizioni (salvo l'identità, che non ha ordine 7). Di conseguenza il numero totale di elementi di ordine  in  è .