Esercizio sulla variabile campionaria di un programma televisivo

Esercizio. $(\bullet \bullet \circ)$
Un programma andato in onda in prima serata sulla rete $Z$ ha registrato uno share del $40 \%$ . Determinare la probabilità che estraendo, con ripetizione, un campione di $1000$ telespettatori, almeno il $38 \%$ abbia guardato il programma.

Svolgimento.
L’universo dei campioni è formato da $n^{1000}$ elementi. Sia $X$ la variabile campionaria che può assumere valori da $1,...,1000$ , la probabilità di ciascun valore è dato dalla somma delle probabilità di tutti i campioni di telespettatori che guardano il programma desiderato. Si tratta dunque di una variabile dicotomica e quella che cerchiamo è $Y=\frac{X}{1000}$ ed è una variabile aleatoria binomiale di parametri $B(1000,0.40)$ ed è data da:

$P[Y]=P\left [ \frac{X}{1000} \right ]=\binom{1000}{n}0.4^x(1-0.4)^{1-n}$

La probabilità richiesta è data da:

$P\left [ \frac{X}{1000} \ge0.38 \right ]=\sum_{n=380}^{1000}\binom{1000}{n}0.4^n(1-0.4)^{1-n}$

Per $n \to +\infty$ la variabile campionaria $Y=\frac{X}{1000}$ tende ad una distribuzione normale di parametri $N(\mu,\sigma^2)$ dove

$\mu=p,\quad \sigma^2=\frac{p(1-p)}{n}$

e quando il campione è sufficientemente grande possiamo approssimare la distribuzione binomiale con la distribuzione normale come segue:

$P\left [ Z\ge \frac{\frac{X}{n}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \right ]=P\left[Z\ge\frac{0.38-0.40}{\sqrt{\frac{0.4\cdot 0.6}{1000}}}\right]=P[Z\ge-1.29]=1-\phi(-1.29)=\phi(1.29)=0.90147$