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Disegnare con Desmos

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Risultati

#1. Sia $f(x,y) = \arctan \left(\frac{x}{x^2+y}\right)$ e sia $A$ l’insieme di definizione di $f$ . Indicare l’affermazione vera:

$A$ è connesso

$A$ è chiuso

$A$ è aperto

$A$ è semplicemente connesso

$A$ è limitato

#2. Sia $D$ un dominio normale regolare. Esprimere l’area di $D$ attraverso un opportuno integrale curvilineo.

$\int\limits_{\partial^+ D} xdy - ydx$

$-\int\limits_{\partial^+ D} ydx$

$-\int\limits_{\partial^+ D} xdy$

$\iint_D 1 dxdy$

nessuna delle altre risposte è corretta

#3. Sia $f : A \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^2$ in $A$ aperto; il punto $(x_0, y_0) \in A$ è un punto di minimo relativo per $f$ se

$f_{xx}(x_0, y_0) > 0, f_{yy}(x_0, y_0) > 0$ e $\det D^2 f(x_0, y_0) > 0$

$\exists B_r(x_0, y_0) : f(x_0, y_0) \le f(x,y) \quad \forall (x,y) \in B_r(x_0, y_0)$

$\exists r > 0 : f(x_0, y_0) \le f(x, y_0) \quad \forall x \in (x_0 - r, x_0 + r)$

$\exists r > 0 : f(x_0, y_0) \le f(x_0, y) \quad \forall y \in (y_0 - r, y_0 + r)$

Nessuna delle altre risposte è corretta

#4. Data la successione di funzioni $f_n(x) = \frac{1}{n^2x^2 - nx + 2}$ , indicare l’affermazione vera:

$f_n$ converge puntualmente ma non uniformemente in $\mathbb{R}$

$f_n$ converge puntualmente in $\mathbb{R}$ alla funzione nulla

$f_n$ converge uniformemente in $(0, +\infty)$

$f_n$ converge uniformemente in $(-\infty, 0)$

nessuna delle altre risposte è corretta

#5. Quale delle seguenti funzioni ha un minimo relativo in $(0,0)$ ?

$F(x,y) = x^2 + 2xy - y^3$

$F(x,y) = 2x^2 + y^2 - 2xy$

$F(x,y) = -2x^2 - y^2 - xy$

$F(x,y) = \cos x - \cos(x+y)$

$F(x,y) = \sin^2 x + \cos y$

#6. Sia $f_n : [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni convergente uniformemente in $[a,b]$ a $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ . Indicare l’affermazione vera:

$f$ non è continua in $[a,b]$

$f$ è continua in $[a,b]$

$\lim\limits_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(x)dx = \int_a^b f(x)dx$

$\lim\limits_{n \to +\infty} f_n(x) = f(x) \quad \forall x \in [a,b]$

nessuna delle altre risposte è corretta

#7. $D = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \le 1, x \le -1+|y|}$ e sia $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ una qualunque funzione continua in $D$ . Scrivere una formula per il calcolo di $\iint_D f(x,y)dxdy$

Seleziona tutto:

Integrale A:

Integrale A:

Integrale B:

Integrale B:

Integrale C:

Integrale C:

Integrale D:

Integrale D:

Nessuno degli integrali scritti è corretto.

#8. Sia $\omega = y e^{xy} dx + x e^{xy} dy$ e sia $\gamma$ una curva regolare del piano. Indicare l’affermazione vera:

$\int\limits_{\gamma} \omega = \int\limits_{-\gamma} \omega$ , dove $-\gamma$ è la curva $\gamma$ percorsa in senso inverso;

se $\gamma$ è semplice allora $\int\limits_{\gamma} \omega = 0$ ;

se $\gamma$ è chiusa allora $\int\limits_{\gamma} \omega \ne 0$

nessuna delle altre risposte è corretta

#9. Sia $\gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ la curva $\gamma(t) = (t + t^2 + \cos(t + t^2), \sin(2t - 3t^2))$ e sia $F : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ la funzione $F(x,y) = x - y + xy + x^2y^2$ . Calcolare la derivata della funzione composta $(F \circ \gamma)'(0) = \frac{d}{dt} F(\gamma(t)) \Big|_{t=0}$

$(F \circ \gamma)'(0)=1$

$(F \circ \gamma)'(0)= -1$

$(F \circ \gamma)'(0)=0$

$(F \circ \gamma)'(0)= 2$

$(F \circ \gamma)'(0)= -2$

$(F \circ \gamma)'(0)= 4$

$(F \circ \gamma)'(0)= -4$

#10. Sia $\omega = \frac{y-x}{(x^2+y^2)^\alpha} dx - \frac{x+y}{(x^2+y^2)^\alpha} dy$ . Per quali $\alpha \in \mathbb{R}$ , $\omega$ è esatta?

$\alpha = 1$

$\alpha > 0$

$\alpha = -1$

$\alpha = 2$

Non esiste alcun valore di $\alpha$ per cui $\omega$ è esatta

#11. Determinare per quali valori di $\alpha \in \mathbb{R}$ ha un punto di massimo o di minimo la funzione $f(x,y) = \alpha y^2 + x^2 + 2\alpha xy$ .

$\alpha \in [0,1]$

$\alpha \in (-1,0)$

$\alpha \in (0, +\infty)$

$\alpha \in (-\infty, -1)$

$f$ non ammette punti di massimo o minimo relativo per nessun valore di $\alpha \in \mathbb{R}$

#12. Siano $B_1(0,0)$ e $B_1(1,0)$ le palle in $\mathbb{R}^2$ centrate rispettivamente in $(0,0)$ e $(1,0)$ di raggio 1; l’insieme $B_1(0,0) \setminus B_1(1,0)$ è:

aperto

chiuso

compatto

connesso

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