Esercizio 2 – Ordine di un gruppo – Il super eserciziario

Esercizio 2. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$
Sia $G$ un gruppo e sia $a \in G$ di ordine $n$ .
a) Provare che $(bab^{-1})^n=e$ ;
b) Provare che l’ordine $bab^{-1}$ è esattamente $n$ .

Svolgimento.
a) Dobbiamo provare che $(bab^{-1})^n=e$ .
L’uguaglianza di sinistra può essere scritta come

$\begin{eqnarray*} &(bab^{-1})^n &=\underbrace{bab^{-1}\cdot bab^{-1}\cdot bab^{-1}...\cdot bab^{-1}}_{n \ volte} \\ &&= ba\underbrace{(b^{-1}b)}_ea\underbrace{(b^{-1}b)}_e\cdot...\cdot \underbrace{(b^{-1}b)}_eab^{-1} \\ &&=ba\cdot e\cdot a\cdot...\cdot e\cdot ab \\&&=ba^nb^{-1} \\&&=beb^{-1} \ \ \ \ \text{per ipotesi} \ a^n=e \\&&=bb^{-1}=e \end{eqnarray*}$

come richiesto.
b) Grazie al punto precedente, sappiamo che l’ordine di $bab^{-1}$ non è maggiore di $n$ .
Supponiamo ora per assurdo che l’ordine di $bab^{-1}$ sia $m$ con $m < n$ , deve essere

$\begin{eqnarray*} &e=(bab^{-1})^m &=ba^mb^{-1} \end{eqnarray*}$

Di conseguenza si ha

$\begin{eqnarray*} &e&=b^{-1}eb \\&& =b^{-1}(ba^mb^{-1})b \\&& =(b^{-1}b)a^m(b^{-1}b) \\&& =a^m \end{eqnarray*}$

Questo implica che l’ordine di $a$ sia minore di n, in contraddizione con l’ipotesi che l’elemento $a$ sia esattamente $n$ .