Esercizio 1 – Equazione differenziale di Bernoulli

Esercizio 1. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

Risolvere il seguente problema di Cauchy:

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[{\begin{cases}
y'-\frac{y}{x}=-x^3y^4 &  \\
y(1)=1 &  \\
\end{cases}\]

*** Error message:
Missing } inserted.
leading text: \end{cases}\]

Svolgimento.
L’equazione differenziale data è un’equazione differenziale di Bernoulli. Notiamo che l’equazione differenziale non è definita per $x=0$ e dalla condizione iniziale, la soluzione è definita nell’insieme

$I=\left\{ (x,y): x \in (0,+\infty), y \in \mathbb{R}\right\}$

Inoltre, la soluzione costante $y=0$ è soluzione dell’equazione differenziale ma non soddisfa la condizione iniziale e pertanto va scartata.

Troviamo la soluzione generale e dividiamo ambo i membri per $y^4$ , si ottiene:

$\frac{y'}{y^4} -\frac{y^{-3}}{x}=-x^3$

Posto $z(x)=y^{-3}(x)$ , derivando ambo i membri dell’uguaglianza troviamo:

$z'(x)=-3y^{-4}(x)y'(x) \to \frac{y'(x)}{y^4}=-\frac{z'(x)}{3}$

Sostituendola nell’equazione differenziale originaria, si ricava l’equazione differenziale:

$-\frac{z'(x)}{3} -\frac{z(x)}{x}=-x^3$

Ossia:

$z'(x)+\frac{3}{x}z(x)=3x^3$

che è lineare del primo ordine non omogenea, con le nuove condizioni iniziali $z(1)=1$ .

La formula risolutiva è data da:

$z(x)=e^{-A(x)}\left[z_0+\int_{x_0}^x f(u)e^{A(u)}du \right]$

dove il fattore integrante è dato da

$A(x)=\int_{x_0}^x a(u)du$

Nel nostro caso $a(x)=\frac{3}{x}$ e $f(x)=3x^3$ . Si trova:

$A(x)=\int_{1}^x \frac{3}{u}du=\left[3\log(u)\right]_1^x=3\log(x)$

pertanto:

$z(x)=e^{-3\log(x)}\left[1+\int_{1}^x 3x^3e^{3\log(x)}du \right]$

ossia

$z(x)=\frac{1}{x^3}\left[1+\int_{1}^x 3u^6du \right]=\frac{1}{x^3}+3\frac{1}{x^3}\left[\frac{u^7}{7}\right]_1^x=\frac{1}{x^3}+3\frac{1}{x^3} \left(\frac{x^7}{7}-\frac{1}{7}\right)=\frac{4+3x^7}{7x^3}$

Dalla sostituzione $z(x)=y^{-3}(x)$ , ossia $z(x)=\frac{1}{y^3(x)}$ si ottiene $y(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{z(x)}}$ da cui troviamo la soluzione al problema di Cauchy:

$y(x)=\frac{\sqrt[3]{7}x}{\sqrt[3]{4+3x^7}}$

Soluzione alternativa

Si pone la sostituzione $y(x)=xu(x)$ . Derivando ambo i membri otteniamo che $y'(x)=xu'(x)+u(x)$ e sostituendo all’equazione differenziale originaria si ha:

$\underbrace{u'(x)x+u(x)}_{y'(x)}-\underbrace{u(x)}_{\frac{y(x)}{x}}=-x^7\cdot\underbrace{u(x)x}_{y(x)}$

da cui si ottiene l’equazione differenziale a variabili separabili:

$u'(x)=-x^6\cdot (u(x))^4 \quad (\star)$

dove le nuove condizioni iniziali si ricavano dal problema di Cauchy originario

$y(1)=u(1)\cdot 1=u(1)=1 \to u(1)=1$

Il teorema di esistenza e unicità locale delle soluzioni è soddisfatto in quanto abbiamo le funzioni, che chiamiamo $f(x)=-x^6$ e $g(u)=u^4$ , sono sempre definite continue e derivabili in $\mathbb{R}$ , in quanto sono funzioni polinomiali e $g$ ha derivata prima continua.