Esercizio sugli intervalli di confidenza – La cabina di pilotaggio di un aereo

Esercizio 1. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$
Nel progettare una cabina di pilotaggio di un aereo, si considerano i valori antropometrici medi della statura dei piloti. Supponendo che i valori ottenuti abbiano una distribuzione normale di media $\mu$ incognita e $\sigma=6.1$ e che la misura di $100$ piloti trovata è di

$\sum _{i=1}^{100}x_i=178.50$

determinare:
a) l’intervallo di confidenza per $\mu$ al $95$ %;
b) l’ampiezza campionaria minima affinchè l’intervallo al $95$ % abbia ampiezza minore o uguale a 1.

Svolgimento
a) Sappiamo che la media che chiamiamo $\bar{x}$ è pari a $\bar{x}=178.50$ e che $1-\alpha=0.95$ . Si trova che $\alpha=1-0.95=0.05$ , da cui

$\frac{\alpha}{2}=0.025 \Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1.96$

dove $z_{\frac{\alpha}{2}}$ lo si è ricavata nella tabella. Sostituendo i valori numerici si trova l’intervallo dato da

$IC=\left [ \bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right ]=$
$=\left [178.5-1.96\cdot \frac{6.1}{\sqrt{100}},178.5+1.96\cdot \frac{6.1}{\sqrt{100}} \right ]=\left [ 177.30,179.69 \right ]$

b) L’ampiezza campionaria è data da

$l=2\cdot z_{\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Imponendo che $l\le 1$ si trova che

$n\ge 2\cdot z_{\frac{\alpha}{2}}\cdot \sigma=571.78$

Perciò la numerosità del campione minimo è $572$ .
Quindi $n$ , ossia la numerosità del campione, è aumentato e ciò comporta una diminuzione dell’intervallo di confidenza.