{"id":872,"date":"2024-08-14T16:50:08","date_gmt":"2024-08-14T16:50:08","guid":{"rendered":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/?p=872"},"modified":"2024-08-20T12:07:34","modified_gmt":"2024-08-20T12:07:34","slug":"esercizio-sulle-norme-lp","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/universita\/esercizio-sulle-norme-lp\/","title":{"rendered":"Esercizio sulle norme L^p"},"content":{"rendered":"

<\/p>\n

Esercizio 1.<\/strong> \"(\bullet \circ \circ)\"<\/p>\n

Sia data \"f \in L^2(-1,1)\" che ha norma \"\left\|f \right\|_2=5\". Stabilire, se possibile, un limite superiore alla norma di \"f\" in \"f \in L^1(-1,1)\"\n<\/div>\n

Svolgimento. <\/strong><\/p>\n

Utilizzando la disuguaglianza di H\u00f6lder otteniamo:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\|f \right\|_1\leq \left\|f \right\|_2\cdot \left\|1 \right\|_2\]\"<\/p>\n

ovvero<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\|f \right\|_1\leq \sqrt{\int_{-1}^{1}\left|f(x) \right|^2dx}\cdot\sqrt{\int_{-1}^{1}dx}=\left\|f \right\|_2\cdot \sqrt{2}\]\"<\/p>\n

Essendo \"\left\|f \right\|_2=5\", si trova il limite superiore cercato:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\|f \right\|_1=5\sqrt{2}\]\"<\/p>\n

Possiamo osservare che se prendiamo la funzione costante \"f(x)=k\", con \"k \ge 0\", non si riesce ad avere una limitazione stringente a quella ottenuta. Infatti in questo caso:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\|f \right\|_1=\int_{-1}^1\left|k \right|dx=2k\]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\|f \right\|_2=\sqrt{\int_{-1}^{1}\left|k \right|^2dx}=\sqrt{2}k\]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\|1 \right\|_2=\sqrt{\int_{-1}^{1}dx}=\sqrt{2}\]\"<\/p>\n

dove in questo caso vale l’uguaglianza.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Esercizio 1. Sia data che ha norma . Stabilire, se possibile, un limite superiore alla norma di in Svolgimento. Utilizzando la disuguaglianza di H\u00f6lder otteniamo:     ovvero     Essendo , si trova il limite superiore cercato:     Possiamo osservare che se prendiamo la funzione costante , con , non si riesce ad […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[35,1],"tags":[],"class_list":["post-872","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-metodimatematici","category-universita"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/872","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=872"}],"version-history":[{"count":75,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/872\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":930,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/872\/revisions\/930"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=872"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=872"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=872"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}