Esercizio 1.<\/strong> $\"$ <\/p>\n
Risolvere il seguente problema di Cauchy:<\/p>\n
*** QuickLaTeX cannot compile formula:\n\[{\begin{cases}\ny'-\frac{y}{x}=-x^3y^4 & \\\ny(1)=1 & \\\n\end{cases}\]\n\n*** Error message:\nMissing } inserted.\r\nleading text: \end{cases}\]\r\n\n<\/pre>\n<\/div>\n
Svolgimento. <\/strong>
\nL’equazione differenziale data \u00e8 un’equazione differenziale di Bernoulli. Notiamo che l’equazione differenziale non \u00e8 definita per $\"x=0\"$ e dalla condizione iniziale, la soluzione \u00e8 definita nell’insieme <\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[I=\left\{ (x,y): x \in (0,+\infty), y \in \mathbb{R}\right\}\]\"$ <\/p>\n
Inoltre, la soluzione costante $\"y=0\"$ \u00e8 soluzione dell’equazione differenziale ma non soddisfa la condizione iniziale e pertanto va scartata. <\/p>\n
Troviamo la soluzione generale e dividiamo ambo i membri per $\"y^4\"$ , si ottiene:<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[\frac{y'}{y^4} -\frac{y^{-3}}{x}=-x^3\]\"$ <\/p>\n
Posto $\"z(x)=y^{-3}(x)\"$ , derivando ambo i membri dell’uguaglianza troviamo:<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[z'(x)=-3y^{-4}(x)y'(x) \to \frac{y'(x)}{y^4}=-\frac{z'(x)}{3}\]\"$ <\/p>\n
Sostituendola nell’equazione differenziale originaria, si ricava l’equazione differenziale:<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[-\frac{z'(x)}{3} -\frac{z(x)}{x}=-x^3\]\"$ <\/p>\n
Ossia:<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[z'(x)+\frac{3}{x}z(x)=3x^3\]\"$ <\/p>\n
che \u00e8 lineare del primo ordine non omogenea, con le nuove condizioni iniziali $\"z(1)=1\"$ .<\/p>\n
La formula risolutiva \u00e8 data da:<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[z(x)=e^{-A(x)}\left[z_0+\int_{x_0}^x f(u)e^{A(u)}du \right]\]\"$ <\/p>\n
dove il fattore integrante \u00e8 dato da<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[A(x)=\int_{x_0}^x a(u)du\]\"$ <\/p>\n
Nel nostro caso $\"a(x)=\frac{3}{x}\"$ e $\"f(x)=3x^3\"$ . Si trova:<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[A(x)=\int_{1}^x \frac{3}{u}du=\left[3\log(u)\right]_1^x=3\log(x)\]\"$ <\/p>\n
pertanto:<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[z(x)=e^{-3\log(x)}\left[1+\int_{1}^x 3x^3e^{3\log(x)}du \right]\]\"$ <\/p>\n
ossia<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[z(x)=\frac{1}{x^3}\left[1+\int_{1}^x 3u^6du \right]=\frac{1}{x^3}+3\frac{1}{x^3}\left[\frac{u^7}{7}\right]_1^x=\frac{1}{x^3}+3\frac{1}{x^3} \left(\frac{x^7}{7}-\frac{1}{7}\right)=\frac{4+3x^7}{7x^3}\]\"$ <\/p>\n
Dalla sostituzione $\"z(x)=y^{-3}(x)\"$ , ossia $\"z(x)=\frac{1}{y^3(x)}\"$ si ottiene $\"y(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{z(x)}}\"$ da cui troviamo la soluzione al problema di Cauchy:<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[y(x)=\frac{\sqrt[3]{7}x}{\sqrt[3]{4+3x^7}}\]\"$ <\/p>\n
Soluzione alternativa<\/strong><\/p>\n
Si pone la sostituzione $\"y(x)=xu(x)\"$ . Derivando ambo i membri otteniamo che $\"y'(x)=xu'(x)+u(x)\"$ e sostituendo all’equazione differenziale originaria si ha:<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[\underbrace{u'(x)x+u(x)}_{y'(x)}-\underbrace{u(x)}_{\frac{y(x)}{x}}=-x^7\cdot\underbrace{u(x)x}_{y(x)}\]\"$ <\/p>\n
da cui si ottiene l’equazione differenziale a variabili separabili:<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[u'(x)=-x^6\cdot (u(x))^4 \quad (\star)\]\"$ <\/p>\n
dove le nuove condizioni iniziali si ricavano dal problema di Cauchy originario<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[y(1)=u(1)\cdot 1=u(1)=1 \to u(1)=1\]\"$ <\/p>\n
Il teorema di esistenza e unicit\u00e0 locale delle soluzioni \u00e8 soddisfatto in quanto abbiamo le funzioni, che chiamiamo $\"f(x)=-x^6\"$ e $\"g(u)=u^4\"$ , sono sempre definite continue e derivabili in $\"\mathbb{R}\"$ , in quanto sono funzioni polinomiali e $\"g\"$ ha derivata prima continua.<\/p>\n
L’equazione differenziale $\"(\star)\"$ ora \u00e8 a variabili separabili e si pu\u00f2 scrivere come:<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[y'=f(x)\cdot g(y)\]\"$ <\/p>\n
Notare che $\"y\"$ \u00e8 funzione di $\"x\"$ che omettiamo per chiarezza espositiva.<\/p>\n
La soluzione costante \u00e8 $\"u(x)=0\"$ che non rispetta la condizione iniziale e va scartata. Procediamo allora con la separazione delle variabili:<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[\frac{u'}{u^4}=-x^6\]\"$ <\/p>\n
Integrando ambo i membri, tenendo conto della condizione iniziale, possiamo scrivere:<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[\int_{u(1)}^{u(x)}\frac{du}{u^4}=-\int_{1}^{x}t^6dt\]\"$ <\/p>\n
da cui<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[-\left [ \frac{1}{3u^3} \right ]_1^{u(x)}=-\left [ \frac{t^7}{7} \right ]_1^x\]\"$ <\/p>\n
pertanto:<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[\frac{1}{3}\left ( \frac{1}{u^3(t)}-1 \right )=\frac{1}{7}(x^7-1) \to\]\"$ <\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[\to \frac{1}{u^3(t)}=\frac{3}{7}x^7+\frac{4}{7}=\frac{3x^7+4}{7} \to u^3(t)=\frac{7}{3x^7+4} \to u(x)=\frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{3x^7+4}}\]\"$ <\/p>\n
Ricordando che avevamo posto $\"y(x)=xu(x)\"$ si ha in conclusione:<\/p>\n
<\/span> <\/span> $\"\[u(x)=\frac{\sqrt[3]{7}x}{\sqrt[3]{3x^7+4}}\]\"$ <\/p>\n

\n– Ultimo aggiornamento: ‘.
\nget_the_modified_time( ‘j F, Y’ ).’<\/time><\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Esercizio 1. Risolvere il seguente problema di Cauchy: *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[{\begin{cases} y'-\frac{y}{x}=-x^3y^4 & \\ y(1)=1 & \\ \end{cases}\] *** Error message: Missing } inserted. leading text: \end{cases}\] Svolgimento. L’equazione differenziale data \u00e8 un’equazione differenziale di Bernoulli. Notiamo che l’equazione differenziale non \u00e8 definita per e dalla condizione iniziale, la soluzione \u00e8 definita nell’insieme Inoltre, la soluzione costante \u00e8 […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"blank","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[29,30,1],"tags":[31,32],"class_list":["post-773","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica-2","category-equazioni-differenziali","category-universita","tag-equazioni-differenziali","tag-equazioni-differenziali-di-bernoulli"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/773","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=773"}],"version-history":[{"count":12,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/773\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":786,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/773\/revisions\/786"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=773"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=773"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=773"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}