{"id":215,"date":"2023-07-19T10:00:42","date_gmt":"2023-07-19T10:00:42","guid":{"rendered":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/?p=215"},"modified":"2025-04-25T07:59:22","modified_gmt":"2025-04-25T07:59:22","slug":"esercizio-sui-gruppi-linsieme-z-rispetto-alla-moltiplicazione","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/universita\/esercizio-sui-gruppi-linsieme-z-rispetto-alla-moltiplicazione\/","title":{"rendered":"Esercizio sui gruppi – L’insieme Z rispetto alla moltiplicazione"},"content":{"rendered":"
Esercizio 1.<\/strong> \"
\nProvare se l’insieme dei numeri \"\mathbb{Z}\" \u00e8 un gruppo rispetto alla moltiplicazione.<\/div>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

Svolgimento. <\/strong>
\nDobbiamo stabilire se la struttura algebrica \"(\mathbb{Z},\cdot)\" \u00e8 un gruppo.
\nPer farlo dobbiamo provare che:<\/p>\n

1) l’insieme \"\mathbb{Z}\" \u00e8 chiuso rispetto alla moltiplicazione;
\n2) la propriet\u00e0 associativa sia soddisfatta;
\n3) esiste l’elemento neutro;
\n4) esiste l’elemento inverso.<\/p>\n

1) Presi due elementi \"\forall a,b\in \mathbb{Z}\" segue che \"a\cdot b \in \mathbb{Z}\" in quanto il prodotto di due numeri interi \u00e8 ancora un numero intero.<\/p>\n

2) Dobbiamo verificare se \u00e8 soddisfatta la propriet\u00e0 associativa, ossia presi due elementi \"\forall a,b,c\in \mathbb{Z}\" verifica l’uguaglianza:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)\]\"<\/p>\n

come visto al punto precedente, il prodotto di due numeri interi \u00e8 ancora intero. Quindi \u00e8 banalmente soddisfatta la propriet\u00e0 associativa.<\/p>\n

3) Verifichiamo l’esistenza dell’elemento neutro, ossia se esiste nell’insieme \"\mathbb{Z}\" l’elemento neutro \"e\" che moltiplicato per un numero intero risulti ancora un numero intero. Preso \"a \in \mathbb{Z}\" allora<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[a \cdot 1=1 \cdot a\]\"<\/p>\n

L’elemento neutro \u00e8 proprio \"e=1\" che moltiplicato per qualsiasi elemento \"a \in \mathbb{Z}\" fornisce come risultato il numero stesso.<\/p>\n

4) L’elemento inverso non esiste, infatti se ad esempio prendiamo \"3\" come numero intero, il suo inverso moltiplicativo \u00e8 \"\dfrac{1}{3}\notin \mathbb{Z}\"<\/p>\n

Concludiamo che \"(\mathbb{Z},\cdot)\" non \u00e8 un gruppo.<\/p>\n

Soluzione fornita da Qui Si Risolve<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Esercizio 1. Provare se l’insieme dei numeri \u00e8 un gruppo rispetto alla moltiplicazione.     Svolgimento. Dobbiamo stabilire se la struttura algebrica \u00e8 un gruppo. Per farlo dobbiamo provare che: 1) l’insieme \u00e8 chiuso rispetto alla moltiplicazione; 2) la propriet\u00e0 associativa sia soddisfatta; 3) esiste l’elemento neutro; 4) esiste l’elemento inverso. 1) Presi due elementi […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"blank","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[9,37,1],"tags":[10],"class_list":["post-215","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra","category-gruppi","category-universita","tag-algebra"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/215","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=215"}],"version-history":[{"count":24,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/215\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1296,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/215\/revisions\/1296"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=215"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=215"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=215"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}