{"id":2063,"date":"2025-08-28T13:40:22","date_gmt":"2025-08-28T13:40:22","guid":{"rendered":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/?p=2063"},"modified":"2025-09-22T07:43:10","modified_gmt":"2025-09-22T07:43:10","slug":"sylow","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/universita\/sylow\/","title":{"rendered":"Teoremi di Sylow"},"content":{"rendered":"\n

Esercizi sul teorema di Sylow<\/strong><\/p>\n\n\n\n

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Ricordiamo i teoremi di Sylow che applicheremo agli esercizi, come sempre, provare a farlo da soli e comprendere come applicare i teoremi di Sylow.\n\nTeorema di Sylow<\/strong><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Sia \"G\" un gruppo finito con ordine \"|G| = p^k \cdot m\", dove \"p\" \u00e8 un numero primo e \"p \nmid m\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Primo teorema di Sylow (Esistenza)<\/strong>: Esiste almeno un sottogruppo di \"G\" di ordine \"p^k\". Tale sottogruppo si chiama sottogruppo di Sylow \"p\"<\/strong>.\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Secondo teorema di Sylow (Coniugio)<\/strong>: Tutti i sottogruppi di Sylow \"p\" di \"G\" sono coniugati<\/strong> tra loro, cio\u00e8 se \"P\" e \"Q\" sono sottogruppi di Sylow \"p\", allora esiste \"g \in G\" tale che \"Q = gPg^{-1}\". In particolare, tutti i sottogruppi di Sylow per un dato primo hanno la stessa cardinalit\u00e0.\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Terzo teorema di Sylow (Numero dei Sylow):<\/strong> Sia \"n_p\" il numero dei sottogruppi di Sylow \"p\" di \"G\". Allora valgono le seguenti condizioni:\n\n1) \"n_p \equiv 1 \pmod p\";\n2) \"n_p \mid m\", ossia \"n_p\" divide l'indice \"m = |G| / p^k\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Queste condizioni limitano fortemente i possibili valori di \"n_p\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Osservazioni: \n- Dal primo teorema di Sylow sappiamo che almeno un Sylow esiste sempre;\n- Dal secondo teorema di Sylow segue che il numero \"n_p\" di Sylow \u00e8 uguale al numero di orbite dell'azione per coniugio, quindi tutti i Sylow hanno la stessa dimensione.\n- Dal terzo teorema di Sylow deduciamo che \"n_p\" \u00e8 della forma \"1 + kp\" e divide \"m\", questo serve per contare quanti sottogruppi di Sylow ci sono.\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
<\/code><\/pre>\n\n\n\n\n
 Esercizio 1. <\/strong>
\nQuanti elementi di ordine 7 sono contenuti in un gruppo semplice di ordine 168 ?\n<\/div>\n\n\n\n\n
Svolgimento<\/strong><\/summary>\n
Applichiamo il teorema di Sylow, Si ha:<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\"168=2^3\cdot3\cdot7.\"<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\nVogliamo contare gli elementi di ordine 7. Dal terzo teorema di Sylow sappiamo che:\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"n_7\equiv1\pmod7\qquad\text{e}\qquad n_7\mid\dfrac{168}{7}=24\"\n\nI divisori di 24 sono: 1,2,3,4,6,8,12,24.\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Tra questi, quelli congruenti a \"1\pmod7\" sono soltanto 1 e 8. Quindi le possibili scelte sono \"n_7\in\{1,8\}\".<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Se \"n_7=1\" allora il sottogruppo di 7-Sylow sarebbe unico e quindi normale in \"G\". Questo contraddice l'ipotesi che \"G\" sia semplice (un gruppo semplice non ha sottogruppi normali propri non banali). Pertanto deve essere \"n_7=8\".\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Ogni sottogruppo di ordine 7 \u00e8 ciclico (perch\u00e9 7 \u00e8 primo); dunque in ciascun sottogruppo di ordine 7 ci sono esattamente 7-1=6 elementi di ordine 7 (tutti gli elementi diversi dall'identit\u00e0). Se \"P\" e \"Q\" sono due sottogruppi di 7-Sylow distinti, allora \"|P\cap Q|\mid 7\" e \"P\cap Q\neq P,Q\", pertanto \"P\cap Q=\{e\}\". Quindi gli elementi di ordine 7 dei diversi sottogruppi si ottengono senza sovrapposizioni (salvo l'identit\u00e0, che non ha ordine 7). Di conseguenza il numero totale di elementi di ordine \"7\" in \"G\" \u00e8 \"n_7\cdot 6 = 8\cdot6 = 48\".
<\/code><\/pre>\n<\/details>\n\n\n\n


<\/code><\/pre>\n\n\n\n
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