{"id":1889,"date":"2025-08-18T15:56:30","date_gmt":"2025-08-18T15:56:30","guid":{"rendered":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/?p=1889"},"modified":"2025-09-03T14:12:49","modified_gmt":"2025-09-03T14:12:49","slug":"esercizi-vari-di-algebra","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/universita\/esercizi-vari-di-algebra\/","title":{"rendered":"Esercizi vari di algebra"},"content":{"rendered":"\n

Esercizi di riepilogo di Algebra<\/strong><\/p>\n\n\n\n

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In questa pagina verranno proposti esercizi di tutti gli argomenti sia del programma di Algebra 1 e Algebra 2. Provate a svolgere gli esercizi senza guardare le proposte di soluzioni. Certi esercizi sono segnati con il grado di difficolta che va da medio a molto difficile. <\/p>\n\n\n\n

Esercizio 1 (medio)<\/strong>\nProvare che non esiste un gruppo semplice di ordine 80.<\/code><\/pre>\n\n\n\n
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Svolgimento<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Sia \"G\" un gruppo finito con \"|G|=80\". Fattorizzando otteniamo \"80=2^4 \cdot 5\", quindi applicando il primo Teorema di Sylow esistono sottogruppi di ordine 16 e 5, perci\u00f2 dobbiamo analizzare il caso \"p=5\" e il caso \"p=2\".\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Per \"p=5\", indichiamo con \"n_5\" il numero dei sottogruppi di Sylow di ordine 5, per il terzo teorema di Sylow:\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"n_5 \equiv 1 \pmod{5}\qquad\text{e}\qquad n_5 \mid 2^4 = 16\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
I divisori di 16 sono \"1,2,4,8,16\". Tra questi, quelli congrui a \"1 \pmod 5\" sono solo 1 e 16. Quindi \"n_5 \in \{1,16\}\".\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Se \"n_5=1\" allora l'unico sottogruppo di Sylow di ordine 5 \u00e8 normale in \"G\", e quindi \"G\" non \u00e8 semplice. Perci\u00f2, per escludere un sottogruppo normale, dobbiamo assumere \"n_5=16\".\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Dobbiamo ora contare gli elementi di ordine 5, abbiamo che ogni sottogruppo di ordine 5 \u00e8 ciclico e contiene esattamente 4 elementi di ordine 5. Infatti, usando la funzione di Eulero si ha \"\phi(5)=4\" e sono tutti elementi diversi dall'identit\u00e0. Due sottogruppi distinti di ordine primo 5 si intersecano solo nell'identit\u00e0, infatti l'intersezione di due sottogruppi \u00e8 un sottogruppo; se fosse non banale avrebbe ordine 5 e sarebbe quindi uguale a ciascuno dei due sottogruppi, contraddicendo la distinzione. Pertanto i 16 sottogruppi di ordine 5 contribuiscono con \"16\cdot 4 = 64\" elementi distinti di ordine 5.<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Di conseguenza rimangono 80-64=16 elementi che non hanno ordine 5 e tali elementi devono avere ordine una potenza di 2, inclusa l'identit\u00e0.\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Per \"p=2\", sia \"n_2\" il numero dei sottogruppi di Sylow di ordine \"2^4=16\", applicando il terzo teorema di Sylow abbiamo\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"n_2 \equiv 1 \pmod{2}\qquad\text{e}\qquad n_2 \mid 5\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
I divisori di 5 sono 1 e 5, entrambi congrui a \"1 \pmod 2\". Quindi \"n_2 \in \{1,5\}\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Se \"n_2=1\" allora l'unico sottogruppo di Sylow di ordine 16 \u00e8 normale in \"G\", e quindi \"G\" non \u00e8 semplice. Per avere un gruppo semplice dovremmo avere \"n_2=5\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Rimane da vedere come agisce la classe laterale (coset) e il nucleo nel sottogruppo di Sylow di ordine 2.\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Sia \"P\" un sottogruppo di Sylow di ordine 16. Dato che \"n_2=5\", l'indice \"[G:P]\" vale\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"[G:P] = \dfrac{|G|}{|P|} = \dfrac{80}{16} = 5\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Consideriamo l'azione di \"G\" sull'insieme delle classi laterali sinistri \"G/P=\{gP: g\in G\}\" per moltiplicazione a sinistra:\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"G \times G/P \to G/P,\qquad (g,\, xP)\mapsto gxP\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Questa azione definisce un omomorfismo di gruppi \"\varphi: G \longrightarrow S_{5}\", dove \"S_5\" \u00e8 il gruppo delle permutazioni dei 5 coset. \n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Il nucleo di \"\varphi\" \u00e8:\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"\ker\varphi = \{g\in G : g xP = xP \ \text{per ogni } x\in G\} = \bigcap_{x\in G} xPx^{-1}\"\n\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Notiamo che \"\ker\varphi\" \u00e8 un sottogruppo normale di \"G\" e, poich\u00e9 \u00e8 contenuto in \"P\", il suo ordine \u00e8 una potenza di 2, (cio\u00e8 un divisore di 16). Inoltre \"\ker\varphi\" \u00e8 proprio un sottogruppo di \"P\", quindi \"|\ker\varphi|\" divide 16.\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Abbiamo due possibilit\u00e0:\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
1) Se \"\ker\varphi\" fosse banale (cio\u00e8 \"\ker\varphi=\{e\}\"), allora \"\varphi\" sarebbe iniettivo e quindi \"G\" si identificerebbe con un sottogruppo di \"S_5\". Da ci\u00f2 seguirebbe che \"|G|\" divide \"|S_5|=120\". Ma ci\u00f2 \u00e8 impossibile perch\u00e9 \"80 = 2^4\cdot 5\" e \"\quad 120 = 2^3\cdot 3\cdot 5\" e la potenza di 2 che compare in 80 \u00e8 \"2^4\" mentre in 120 \u00e8 \"2^3\"; poich\u00e9 \"2^4\nmid 2^3\", risulta \"80\nmid 120\". Quindi \"\ker\varphi\" non pu\u00f2 essere banale.\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
2) Poich\u00e9 \"\ker\varphi\subseteq P\" e \"P\" non \u00e8 l'intero \"G\" (dato che \"|P|=16<80\"), il nucleo non pu\u00f2 essere tutto \"G\". Quindi \"\ker\varphi\" \u00e8 un sottogruppo normale non banale ma proprio di \"G\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
In entrambi i casi abbiamo trovato un sottogruppo normale proprio e non banale di \"G\", perci\u00f2 il gruppo \"G\" non \u00e8 semplice. \"\blacksquare\"<\/code><\/pre>\n<\/details>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
Esercizio 2 (Gruppo normalizzatore)<\/strong>\nSiano \"G\" un gruppo e \"H\" un sottogruppo di \"G\". Il normalizzatore di \"H\" in \"G\" \u00e8 dato dall'insieme:\n\n\"N_G(H)=\{g \in G | gH=Hg\}\"\n\nProvare che\na) \"N_G(H)\" \u00e8 un sottogruppo di \"G\";\nb) \"N_G(H)\" contiene \"H\";\nc) \"H\" \u00e8 un sottogruppo normale in \"N_G(H)\";\nd) se \"L\" \u00e8 un sottogruppo di \"G\", allora \"L\" contiene \"H\" e \"H\" \u00e8 un sottogruppo normale di \"L\", allora \"L \subseteq N_G(H)\"<\/code><\/pre>\n\n\n\n
<\/summary>\n
Svolgimento<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Utilizziamo la caratterizzazione del coniugio:\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Per ogni \"g\in G\" vale l'equivalenza:\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"gH=Hg \quad\Longleftrightarrow\quad gHg^{-1}=H.\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
(\"\Rightarrow\") Se \"gH=Hg\", moltiplicando a destra per \"g^{-1}\" si ottiene:\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"(gH)g^{-1}=(Hg)g^{-1} \quad\Longrightarrow\quad gHg^{-1}=H.\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
(\"\Leftarrow\") Se \"gHg^{-1}=H\", moltiplicando a destra per \"g\" si ha:\n\n\n\"gHg^{-1}g=Hg \quad \Longrightarrow \quad gH=Hg.\"\n\nPossiamo rispondere ai quesiti:\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
a) Dimostriamo che \"N_G(H) \le G\" col criterio dei sottogruppi. Basta mostrare che l'insieme non sia vuoto, sia chiuso rispetto al prodotto e agli inversi.\n\n1) Insieme non vuoto:<\/strong> L'identit\u00e0 \"e\" soddisfa \"eH=He\", quindi \"e \in N_G(H)\".\n\n2) Insieme chiuso rispetto al prodotto:<\/strong> Siano \"x,y \in N_G(H)\". Per la caratterizzazione per coniugio si ha \"xHx^{-1}=H\" e \"yHy^{-1}=H\". Allora: \n\n\"(xy)H(xy)^{-1}=x(\underbrace{yHy^{-1}}_{H})x^{-1}=xHx^{-1}=H\"\n\n\n3) Insieme chiuso rispetto agli inversi<\/strong>: Se \"x\in N_G(H)\", allora \"xHx^{-1}=H\"; coniugando con \"x^{-1}\" otteniamo: <\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"x^{-1}Hx=(x^{-1})(xHx^{-1})x=(x^{-1}x)H(x^{-1}x)=H,\"\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Pertanto \"N_G(H)\" \u00e8 un sottogruppo di \"G\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
b) Per ogni \"h\in H\" vale \"hH=Hh\". Quindi \"h\in N_G(H)\" e \"H\subseteq N_G(H)\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
c) Per definizione di \"N_G(H)\", per ogni \"n\in N_G(H)\" si ha \"nHn^{-1}=H\". Questa \u00e8 esattamente la condizione \"H\trianglelefteq N_G(H)\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
d) Sia ora \"L\le G\" tale che \"H\subseteq L\" e \"H\trianglelefteq L\". Per ogni \"\ell\in L\" la normalit\u00e0 di \"H\" in \"L\" segue che \"\ell H\ell^{-1}=H\"; per la caratterizzazione del coniugio, ci\u00f2 equivale a \"\ell H=H\ell\", cio\u00e8 \"\ell\in N_G(H)\". Essendo \"\ell\" arbitrario, \"L\subseteq N_G(H)\", in sostanza ogni elemento di \"L\" normalizza \"H\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Possiamo osservare dalla dimostrazione del punto d) che \"N_G(H)\" \u00e8, per inclusione, il massimo  sottogruppo di \"G\" in cui \"H\" \u00e8 normale. Infatti \"N_G(H)\" \u00e8 un sottogruppo di \"G\" che contiene \"H\"; in esso \"H\" \u00e8 normale e contiene ogni sottogruppo \"L\" di \"G\" dove \"H\" \u00e8 normale. \"\quad \blacksquare\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Un esempio pratico \u00e8 il normalizzatore in \"S_3\", infatti posto \"G=S_3\" e sia \"H=\langle (1\,2)\rangle\", ovvero \"H=\{e,(1\,2)\}\", vogliamo calcolare il normalizzatore di \"H\" in \"S_3\":\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"N_G(H) = \{ g \in G \mid gHg^{-1}\} = H\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
In generale, per una trasposizione \"(ij) \in S_n\" e un \"g \in S_n\", \n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"g(ij)g^{-1} = (g(i)\ g(j))\"\n\n\nQuindi il coniugio di \"(12)\" tramite \"g\" sar\u00e0 la trasposizione che scambia \"g(1)\" e \"g(2)\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Scriviamo tutti gli elementi di \"S_3\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"S_3 = \{ e,\ (12),\ (13),\ (23),\ (123),\ (132) \}.\"\n\nCominciamo con \"g = e\", si ha:\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"e(12)e^{-1} = (12) \in H \quad \Rightarrow \quad e \in N_{S_3}(H).\"\n\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Per il secondo elemento: \"g = (12)\", risulta allora:\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"(1\,2)(1\,2)(1\,2) =(2\,1)= (1\,2) \in H \quad \Rightarrow \quad (1\,2) \in N_{S_3}(H).\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Se analizziamo l'elemento \"g = (1\,3)\", essendo \"g(1) = 3\" e \"g(2) = 2\", abbiamo che:\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\"(1\,3)(1\,2)(1\,3)=(2\,3)\notin H\". Dunque \"(1\,3)\notin N_{S_3}(H)\".\n\nAnalogamente per \"g = (2\,3)\":    \"g(1) = 1, \quad g(2) = 3\",\n  \nquindi\n    \n\"(2\,3)(1\,2)(2\,3) = (1\,3) = (1\,3) \notin H \quad \Rightarrow \quad (2\,3) \notin N_{S_3}(H)\"\n  \nPer \"g = (1\,2\,3)\": \"g(1) = 2, \quad g(2) = 3\"\n \nquindi\n \n\"(1\,2\,3)(12)(123)^{-1} = (2\,3) = (2\,3) \notin H \quad \Rightarrow \quad (1\,2\,3) \notin N_{S_3}(H).\"\n     \n\"g = (1\,3\,2)\":   \"g(1) = 3, \quad g(2) = 1\"\n\nquindi\n \n\"(1\,3\,2)(1\,2)(1\,3\,2)^{-1} = (3\,1) = (1\,3) \notin H \quad \Rightarrow \quad (1\,3\,2) \notin N_G(H).\"\n   \nIn conclusione, gli unici elementi che normalizzano \"H\" sono \"e\" e \"(1\,2)\", dunque:\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"N_{S_{3}}(H)=\{e,(1\,2)\}=H\"\n\nQuesto non \u00e8 altro che il cetralizzatore di \"(1\,2)\", ovvero \"\{g \in S_3 | g(1\,2)=(1\,2)g \}\", in quanto l\u2019unica trasposizione che resta uguale per coniugio \u00e8 proprio \"(1\,2)\".<\/code><\/pre>\n\n\n\n
I sottogruppi \"\langle (12)\rangle\", \"\langle (13)\rangle\" e \"\langle (23)\rangle\" sono tutti coniugati tra loro, quindi ci sono 3 coniugati di \"H\", per il teorema delle classi:\n\n\"|N_{S_3}(H)| = \dfrac{|S_3|}{\# \text{coniugati di } H} = \dfrac{6}{3} = 2\". \"\quad \ \ \blacksquare\"<\/code><\/pre>\n<\/details>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
Esercizio 3<\/strong>\nSiano \"A\" e \"B\" insiemi e sia \"f : A \to B\" un 'applicazione.\n\nParte a)<\/strong> Provare che le seguenti affermazioni sono equivalenti:\n1) \"f\" \u00e8 iniettiva;\n2) per ogni insieme \"X \subseteq A\" si ha \"f^{-1}(f(X))=X\".\n\nParte b)<\/strong> Provare che le seguenti affermazioni sono equivalenti:\n1) \"f\" \u00e8 suriettiva;\n2) per ogni sottoinsieme \"Y \subseteq B\" si ha \"f(f^{-1}(Y))=Y\".<\/code><\/pre>\n\n\n\n
<\/summary>\n
Svolgimento<\/strong>\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Parte a<\/strong><\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"1) \Rightarrow 2)\" Supponiamo che \"f\" sia iniettiva e sia \"X \subseteq A\" arbitrario. \n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Proviamo che \"X \subseteq f^{-1}(f(X))\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Sia \"x \in X\". Allora \"f(x) \in f(X)\", perci\u00f2 \"x \in f^{-1}(f(X))\". Dunque \"X \subseteq f^{-1}(f(X)).\"\n\nMostriamo l'inclusione inversa, ossia che \"f^{-1}(f(X)) \subseteq X\".\n\nSia \"a \in f^{-1}(f(X))\". Per definizione, \"f(a) \in f(X)\", quindi esiste \"x \in X\" tale che \"f(a) = f(x)\".\n\nPoich\u00e9 \"f\" \u00e8 iniettiva, segue che \"a = x\", dunque \"a \in X\". Quindi \"f^{-1}(f(X)) \subseteq X.\" Combinando le due inclusioni si ottiene \"f^{-1}(f(X)) = X\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"2) \Rightarrow 1)\" Viceversa supponiamo che per ogni \"X \subseteq A\" valga \"f^{-1}(f(X)) = X\". Mostriamo che \"f\" \u00e8 iniettiva. Siano \"a_1, a_2 \in A\" tali che \"f(a_1) = f(a_2)\". Consideriamo il sottoinsieme \"X = \{a_1\}\". Per ipotesi \"f^{-1}(f(\{a_1\})) = \{a_1\}.\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Poich\u00e9 \"f(a_2) = f(a_1)\", si ha \"a_2 \in f^{-1}(f({a_1}))\". Quindi \"a_2 \in \{a_1\}\", e dunque \"a_2 = a_1\", ovvero \"f\" \u00e8 iniettiva. \"\blacksquare\"\n\n\nParte b<\/strong><\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"(i) \Rightarrow (ii)\" Supponiamo che \"f\" sia suriettiva e sia \"Y \subseteq B\" arbitrario.\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Mostriamo che \"f(f^{-1}(Y)) \subseteq Y\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Sia \"y \in f(f^{-1}(Y))\". Allora \"y = f(a)\" per qualche \"a \in f^{-1}(Y)\". Per definizione di preimmagine, \"f(a) \in Y\", dunque \"y \in Y\". Quindi \"f(f^{-1}(Y)) \subseteq Y\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Mostriamo che \"Y \subseteq f(f^{-1}(Y))\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Sia \"y \in Y\". Poich\u00e9 \"f\" \u00e8 suriettiva, esiste \"a \in A\" tale che \"f(a) = y\". Essendo \"y \in Y\", si ha \"a \in f^{-1}(Y)\", perci\u00f2 \"y = f(a) \in f(f^{-1}(Y))\". Quindi \"Y \subseteq f(f^{-1}(Y))\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Combinando le due inclusioni si ottiene \"f(f^{-1}(Y)) = Y\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"(ii) \Rightarrow (i)\" Supponiamo che \"f(f^{-1}(Y)) = Y\" per ogni \"Y \subseteq B\". Prendiamo \"Y = B\". Allora \"f(f^{-1}(B)) = B\".\n\n\nPoich\u00e9 \"f^{-1}(B) = A\" (dato che \"f(a) \in B\" per ogni \"a \in A\"), otteniamo \"f(A) = B\", cio\u00e8 \"f\" \u00e8 suriettiva. \"\blacksquare\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Prendendo \"Y = \{y\}\" con \"y \in B\", dall'uguaglianza \"f(f^{-1}(\{y\})) = \{y\}\" segue che \"f^{-1}(\{y\}) \neq \varnothing\", dunque per ogni \"y \in B\" esiste almeno un \"a \in A\" con \"f(a) = y\". Quindi \"f\" \u00e8 suriettiva. \"\blacksquare\"<\/code><\/pre>\n<\/details>\n\n\n\n
 <\/code><\/pre>\n\n\n\n
Esercizio 4<\/strong>\nSiano \"G\", \"H\" due gruppi e \"f : G \to H\" un omomorfismo di gruppi. Si provi che:\na) se \"N\" \u00e8 un sottogruppo normale di \"H\", allora \"f^{-1}(N)\" \u00e8 un sottogruppo normale di \"G\".\nb) se \"M\" \u00e8 un sottogruppo normale di \"G\", allora non \u00e8 necessariamente vero che \"f(M)\" sia un sottogruppo normale di \"H\".<\/code><\/pre>\n\n\n\n
<\/summary>\n
Svolgimento<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Per un insieme \"X\subseteq H\" denotiamo\n\n\"f^{-1}(X)=\{g\in G \mid f(g)\in X\}\"\n\nla controimmagine di \"X\" tramite \"f\". Quando \"X\" \u00e8 un sottogruppo di \"H\", \"f^{-1}(X)\" \u00e8 chiamata controimmagine del sottogruppo.\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Verifichiamo che un sottoinsieme \"S\subseteq G\" \u00e8 sottogruppo:\n\n\"S\le G \quad\Longleftrightarrow\quad S\neq\varnothing \ \text{e}\ \forall a,b\in S,\ ab^{-1}\in S.\"\n\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
a) Mostriamo prima che \"f^{-1}(N)\" \u00e8 un sottogruppo di \"G\": Deve essere:\n\n- Non vuoto<\/strong>. Poich\u00e9 \"N\" \u00e8 sottogruppo di \"H\", contiene l'identit\u00e0 \"e_H\". Poich\u00e9 \"f\" \u00e8 un omomorfismo, \"f(e_G)=e_H\"; quindi \"e_G\in f^{-1}(N)\". Quindi \"f^{-1}(N)\neq\varnothing\".\n\n- Chiuso per prodotto di tipo<\/strong> \"ab^{-1}\". Siano \"a,b\in f^{-1}(N)\". Allora \"f(a),f(b)\in N\". Poich\u00e9 \"N\" \u00e8 sottogruppo \"f(a)f(b)^{-1}\in N\".\n\nMa \"f\" \u00e8 omomorfismo, quindi\n\n\"f(ab^{-1})=f(a)f(b)^{-1}\in N\"\n\ncio\u00e8 \"ab^{-1}\in f^{-1}(N)\". Quindi \"f^{-1}(N)\le G\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Rimane da verificare la normalit\u00e0: vogliamo mostrare che \"\forall g\in G,\ \forall x\in f^{-1}(N)\" si ha \"g x g^{-1}\in f^{-1}(N)\".\n\nSia \"g\in G\" e \"x\in f^{-1}(N)\". Allora \"f(x)\in N\". Poich\u00e9 \"f\" \u00e8 omomorfismo,\n\n\"f(gxg^{-1}) = f(g) f(x) f(g)^{-1}\"\n\nPoich\u00e9 \"N\lhd H\", per ogni \"h\in H\" e ogni \"n\in N\" si ha \"h n h^{-1}\in N\". Applicando ci\u00f2 con \"h=f(g)\" e \"n=f(x)\" otteniamo\n\n\"f(g) f(x) f(g)^{-1} \in N\"\n\nDunque \"f(gxg^{-1})\in N\" cio\u00e8 \"gxg^{-1}\in f^{-1}(N)\". Quindi \"f^{-1}(N)\lhd G\". \"\blacksquare\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
b) Non \u00e8 vero in generale che l'immagine \"f(M)\" di un sottogruppo normale \"M\lhd G\" sia normale in \"H\".\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Facciamo un'osservazione che chiarisce il limite di tale propriet\u00e0: se \"M\lhd G\" allora \"f(M)\lhd f(G)\". Infatti, sia \"y\in f(G)\" e \"x\in f(M)\". Allora esistono \"g\in G\" e \"m\in M\" tali che \"y=f(g)\" e \"x=f(m)\". Calcoliamo\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"y x y^{-1} = f(g)\,f(m)\,f(g)^{-1} = f(g m g^{-1})\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Poich\u00e9 \"M\lhd G\" si ha \"g m g^{-1}\in M\", quindi \"f(g m g^{-1})\in f(M)\". \n\nPertanto \"yxy^{-1}\in f(M)\". Questo mostra \"f(M)\lhd f(G)\". In particolare, se \"f\" \u00e8 suriettiva allora \"f(G)=H\" e da ci\u00f2 segue \"f(M)\lhd H\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Forniamo due controesempi: \n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Sia \"H=S_3\" e sia \"G=\{e,(12)\}\" il sottogruppo di \"S_3\" generato dalla trasposizione \"(12)\". \n\nConsideriamo l'inclusione naturale \"f:G\hookrightarrow H\". Prendiamo \"M=G\". \n\nPoich\u00e9 ogni gruppo \u00e8 normale in s\u00e9, \"M\lhd G\". Tuttavia \"f(M)=\{e,(12)\}\" non \u00e8 normale in \"S_3\" perch\u00e9 esiste un elemento \"h=(123)\in S_3\" tale che \"h\,(12)\,h^{-1}=(23)\notin\{e,(12)\}\". \n\nPertanto \"f(M)\" non \u00e8 normale in \"H\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
2) Sia \"H=S_4\". Consideriamo il sottogruppo di Klein:\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"V_4=\{ e,\ (12)(34),\ (13)(24),\ (14)(23) \}\le S_4\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
che \u00e8 normale in \"S_4\". Prendiamo \"G=V_4\" e sia \"M=\langle(12)(34)\rangle=\{e,(12)(34)\}\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
All'interno di \"G\" il sottogruppo \"M\" \u00e8 normale (poich\u00e9 \"G\" \u00e8 abeliano, ogni suo sottogruppo \u00e8 normale). Consideriamo l'inclusione \"f:G\hookrightarrow H\". Allora \"f(M)=M\" come sottoinsieme di \"H\" ma coniugando \"(12)(34)\" in \"S_4\", si ottengono gli altri due elementi dell'insieme dei prodotti di due trasposizioni disgiunte:\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"(23)\,(12)(34)\,(23)^{-1} = (13)(24)\notin M\" (vedi freccia sotto per la dimostrazione del calcolo)\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
<\/summary>\n
Mostriamo in dettaglio il calcolo di \"(23)\,(12)(34)\,(23)^{-1}\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Ricordiamo la regola generale: per ogni \"\sigma,\tau\in S_n\",\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"\sigma\ (\,a_1\,a_2\,\dots\,a_k\,)\ \sigma^{-1} = (\sigma(a_1)\ \sigma(a_2)\ \dots\ \sigma(a_k))\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Applicando la regola alle due trasposizioni disgiunte \"(1\,2)(3\,4)\" e alla permutazione \"\sigma=(2\,3)\", otteniamo:\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"(2\,3)\,(1\,2)(3\,4)\,(2\,3)^{-1} = (\ (2\,3)(1)\ (2\,3)(2)\ )\ (\ (2\,3)(3)\ (2\,3)(4)\ )\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Poich\u00e9 \"(2\,3)\" agisce su \"\{1,2,3,4\}\" mandando \"1\mapsto1,\,2\mapsto3,\,3\mapsto2,\,4\mapsto4\", i fattori diventano \"(1\ 3)(2\ 4)\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
cio\u00e8 la permutazione \"(1\ 3)(2\ 4)\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
In alternativa utilizziamo la relazione:\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"(\sigma\tau\sigma^{-1})(x) = \sigma\big(\tau(\sigma^{-1}(x))\big)\"\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
In questo caso:\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Qui \"\sigma=(2\,3)\" e \"\tau=(1\,2)(3\,4)\". Notiamo che \"\sigma^{-1}=\sigma\".\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Calcoliamo immagine per immagine:\n\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
   <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}<\/p>\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Raggruppando i risultati troviamo i cicli \"(1\ 3)(2\ 4)\", cio\u00e8 ancora \"(13)(24)\".<\/code><\/pre>\n<\/details>\n\n\n\n
\nQuindi \"M\" non \u00e8 normale in \"H=S_4\". Questo mostra che anche quando \"M\lhd G\" (qui per via dell'abelianit\u00e0 di \"G\") la sua immagine tramite l'inclusione in \"H\" pu\u00f2 non essere normale. \"\blacksquare\"\n<\/code><\/pre>\n<\/details>\n\n\n\n
Esercizio 5<\/strong>\nSia Z[i] l\u2019anello degli interi di Gauss. Siano I := (5) e J := (2 + i) ideali di Z[i] . Si dica se uno (o entrambi) tra I o J \u00e8 ideale massimale in Z[i] . Nel caso in cui uno dei due sia non massimale, si esibisca esplicitamente un ideale proprio che lo contenga (strettamente).<\/code><\/pre>\n\n\n\n
<\/summary>\n
Sia \"\mathbb{Z}[i]\" l\u2019anello degli interi di Gauss. Siano \"I := (5)\" e \"J := (2 + i)\" ideali di \"\mathbb{Z}[i]\".\nVogliamo determinare se uno (o entrambi) tra \"I\" e \"J\" sono ideali massimali in \"\mathbb{Z}[i]\" e, nel caso in cui uno dei due non lo sia, esibire un ideale proprio che lo contenga strettamente.<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Poich\u00e9 \"\mathbb{Z}[i]\" \u00e8 un dominio euclideo con funzione norma \"N(a+bi)=a^2+b^2\", esso \u00e8 anche un dominio ad ideali principali (PID). In un PID, un ideale \"(\alpha)\" \u00e8 massimale se e solo se \"\alpha\" \u00e8 irriducibile, e ci\u00f2 \u00e8 equivalente al fatto che \"\alpha\" sia primo. Dunque, per decidere se un ideale \u00e8 massimale, basta studiare la fattorizzazione del suo generatore.<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Consideriamo innanzitutto \"I = (5)\". Osserviamo che \"N(2+i) = 2^2 + 1^2 = 5\".\nPoich\u00e9 la norma \u00e8 moltiplicativa, abbiamo \"(2+i)(2-i) = N(2+i) = 5\" quindi \"5 = (2+i)(2-i)\".\nI fattori \"2+i\" e \"2-i\" non sono unit\u00e0, poich\u00e9 la loro norma \u00e8 \"5 > 1\". Dunque \"5\" non \u00e8 irriducibile in \"\mathbb{Z}[i]\", e di conseguenza l'ideale \"(5)\" non \u00e8 primo e quindi non \u00e8 massimale. Un ideale proprio che lo contiene strettamente \u00e8, ad esempio, \"(2+i)\". Infatti: \"(5) = \big( (2+i)(2-i) \big) \subseteq (2+i)\".<\/code><\/pre>\n\n\n\n

L'inclusione \u00e8 stretta: se \"(5) = (2+i)\", allora \"5\" e \"2+i\" sarebbero associati e quindi<\/code><\/pre>\n\n\n\n
   <\/span>   <\/span>\"\[N(5)=N(2+i) \quad \Longrightarrow \quad 25=5\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n
che \u00e8 assurdo. Dunque \"(5)\subsetneq(2+i)\". Analogamente \"(5)\subsetneq(2-i)\".<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Passiamo ora all\u2019ideale \"J = (2+i)\". Se \"2+i = \alpha\beta\", allora il prodotto della norma implica<\/code><\/pre>\n\n\n\n
   <\/span>   <\/span>\"\[N(2+i) = N(\alpha)N(\beta) \quad \Longrightarrow \quad 5 = N(\alpha)N(\beta)\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n
Poich\u00e9 \"5\" \u00e8 primo in \"\mathbb{Z}\", una delle due norme deve essere \"1\", il che significa che uno dei due fattori \u00e8 una unit\u00e0. Pertanto \"2+i\" \u00e8 irriducibile in \"\mathbb{Z}[i]\". Essendo \"\mathbb{Z}[i]\" un PID, l'ideale \"(2+i)\" \u00e8 dunque massimale.<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Un'ulteriore conferma deriva dal considerare l'omomorfismo di anelli:<\/code><\/pre>\n\n\n\n
   <\/span>   <\/span>\"\[\varphi : \mathbb{Z}[i] \longrightarrow \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}, \qquad \varphi(a+bi) = a - 2b \pmod{5}.\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n
Si ha \"\varphi(i)=-2\" e quindi \"\varphi(i)^2 = (-2)^2 = 4 \equiv -1 \pmod{5}\", per cui la relazione \"i^2=-1\" \u00e8 rispettata. Inoltre:<\/code><\/pre>\n\n\n\n
   <\/span>   <\/span>\"\[\varphi(2+i) = 2 + (-2) \equiv 0 \pmod{5}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n
quindi \"(2+i)\subseteq\ker\varphi\". Poich\u00e9 \"\varphi\" \u00e8 suriettiva, per il primo teorema di isomorfismo segue che:<\/code><\/pre>\n\n\n\n
   <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{Z}[i]/(2+i) \cong \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n
che \u00e8 un campo. Quindi \"(2+i)\" \u00e8 massimale.<\/code><\/pre>\n\n\n\n
In conclusione:<\/code><\/pre>\n\n\n\n
   <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\begin{array}{ll}I = (5) & \text{non è massimale}, \quad (5) \subsetneq (2+i). \\J = (2+i) & \text{è massimale}.\end{array}}\]\"<\/p>\"\blacksquare\"
<\/p>\n<\/details>\n\n\n\n
Esercizio 6<\/strong> (Medio)<\/strong>\nSia \"G\" un gruppo finito con \"|G| = 231 = 3\cdot 7\cdot 11\". \nDimostrare che esiste uno e un solo<\/strong> sottogruppo \"K \le G\" di ordine 11, \nche \"K\" \u00e8 normale in \"G\" e che inoltre \"K \subseteq Z(G)\".<\/code><\/pre>\n\n\n\n
<\/summary>\n
Svolgimento<\/strong><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Per il primo e terzo teorema di Sylow, sia \"n_{11}\" il numero dei sottogruppi di Sylow di ordine 11.  
Allora vale:
   <\/span>   <\/span>\"\[n_{11} \equiv 1 \pmod{11},\qquad n_{11} \mid \frac{|G|}{11} = 21\]\"<\/p>
I divisori di 21 sono \"\{1,3,7,21\}\" e tra questi, l’unico congruo a \"1 \pmod{11}\" \u00e8 1, quindi si ha che \"n_{11} = 1\". Pertanto esiste un unico sottogruppo \"K\le G\" di ordine \"11\", ed essendo unico, \u00e8 normale:\"K \lhd G\".<\/p>\n\n\n\n
L’esercizio pu\u00f2 essere risolto in due modi: usando il lemma di Burnside, oppure utilizzando il teorema di isomorfismo. Proponiamo entrambi i metodi.<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
Primo metodo<\/strong>: Consideriamo l’azione di \"G\" su \"K\" per coniugio:
   <\/span>   <\/span>\"\[G \times K \longrightarrow K,\qquad (g,x) \mapsto gxg^{-1}.\]\"<\/p>
Sia \"\mathcal{O}(x)\" l’orbita di un elemento \"x\in K\":
   <\/span>   <\/span>\"\[\mathcal{O}(x) = { gxg^{-1} \mid g\in G } \subseteq K.\]\"<\/p>
Poich\u00e9 \"\mathcal{O}(x) \subseteq K\" e \"|K|=11\" \u00e8 primo,abbiamo due possibilit\u00e0:
   <\/span>   <\/span>\"\[|\mathcal{O}(x)| = 1 \qquad \text{oppure} \qquad |\mathcal{O}(x)| = 11.\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n
Supponiamo per assurdo che \"|\mathcal{O}(x)| = 11\", per il lemma di Burnside:
   <\/span>   <\/span>\"\[|\mathcal{O}(x)| = [G : C_G(x)] = 11 \qquad \Longrightarrow \qquad |C_G(x)| = \frac{|G|}{11} = 21.\]\"<\/p>
Poich\u00e9 \"K\" \u00e8 ciclico, ogni elemento di \"K\" commuta con \"x\", quindi \"K \subseteq C_G(x)\".
Ne seguirebbe che \"11 \mid |C_G(x)|\", ma 21 non \u00e8 divisibile per 11: assurdo!<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
Dunque non esiste alcun \"x\in K\" con orbita di cardinalit\u00e0 11.<\/p>\n\n\n\n

Per ogni \"x\in K\", quindi, \"|\mathcal{O}(x)| = 1\", cio\u00e8:
   <\/span>   <\/span>\"\[gxg^{-1} = x \qquad \forall g\in G.\]\"<\/p>
Pertanto ogni elemento di \"K\" commuta con ogni elemento di \"G\": pertanto \"K \subseteq Z(G)\"\"\blacksquare\"<\/p>\n\n\n\n
Secondo metodo<\/strong>: Poich\u00e9 \"|K| = 11\" \u00e8 primo, \"K\" \u00e8 ciclico:
   <\/span>   <\/span>\"\[K \simeq C_{11}.\]\"<\/p>
Il gruppo degli automorfismi di \"K\" \u00e8:
   <\/span>   <\/span>\"\[\operatorname{Aut}(K) \simeq (\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})^\times,\qquad |\operatorname{Aut}(K)| = \varphi(11) = 10.\]\"<\/p>

Consideriamo l’azione di \"G\" su \"K\" per coniugio e definiamo l’omomorfismo:
   <\/span>   <\/span>\"\[\Phi : G \longrightarrow \operatorname{Aut}(K), \qquad \Phi(g)(x) = gxg^{-1}.\]\"<\/p>
Il nucleo di \"\Phi\" \u00e8 il centralizzatore di \"K\" in \"G\":
   <\/span>   <\/span>\"\[\ker\Phi = C_G(K) = \{ g \in G \mid gx = xg \ \forall x\in K \}.\]\"<\/p>
Per il primo teorema di isomorfismo:
   <\/span>   <\/span>\"\[G / C_G(K) \simeq \operatorname{Im}\Phi,\]\"<\/p>
e quindi:
   <\/span>   <\/span>\"\[|G : C_G(K)| = |\operatorname{Im}\Phi| \mid |\operatorname{Aut}(K)| = 10.\]\"<\/p>
Ma \"|G : C_G(K)|\" divide anche \"|G|=231\", Poich\u00e9 \"\gcd(231,10)=1\", otteniamo:
   <\/span>   <\/span>\"\[|G : C_G(K)| = 1 \qquad \Longrightarrow \qquad C_G(K) = G.\]\"<\/p>
Dunque \"G\" commuta interamente con \"K\", cio\u00e8:\"K \subseteq Z(G).\"\"\blacksquare\"
<\/p>\n<\/details>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Esercizi di riepilogo di Algebra In questa pagina verranno proposti esercizi di tutti gli argomenti sia del programma di Algebra 1 e Algebra 2. Provate a svolgere gli esercizi senza guardare le proposte di soluzioni. Certi esercizi sono segnati con il grado di difficolta che va da medio a molto difficile.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"blank","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[9,50,1],"tags":[],"class_list":["post-1889","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra","category-esercizi-vari","category-universita"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1889","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1889"}],"version-history":[{"count":197,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1889\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2160,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1889\/revisions\/2160"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1889"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1889"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1889"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}