{"id":1224,"date":"2024-10-27T14:57:54","date_gmt":"2024-10-27T14:57:54","guid":{"rendered":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/?p=1224"},"modified":"2024-10-27T14:57:54","modified_gmt":"2024-10-27T14:57:54","slug":"esercizio-sulla-variabile-campionaria-di-un-programma-televisivo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.ilsupereserciziario.it\/home\/universita\/statistica\/esercizio-sulla-variabile-campionaria-di-un-programma-televisivo\/","title":{"rendered":"Esercizio sulla variabile campionaria di un programma televisivo"},"content":{"rendered":"

 <\/p>\n

Esercizio.<\/strong> \"
\nUn programma andato in onda in prima serata sulla rete \"Z\" ha registrato uno share del \"40 \%\". Determinare la probabilit\u00e0 che estraendo, con ripetizione, un campione di \"1000\" telespettatori, almeno il \"38 \%\" abbia guardato il programma.\n<\/div>\n

 <\/p>\n

Svolgimento. <\/strong>
\nL’universo dei campioni \u00e8 formato da \"n^{1000}\" elementi. Sia \"X\" la variabile campionaria che pu\u00f2 assumere valori da \"1,...,1000\", la probabilit\u00e0 di ciascun valore \u00e8 dato dalla somma delle probabilit\u00e0 di tutti i campioni di telespettatori che guardano il programma desiderato. Si tratta dunque di una variabile dicotomica e quella che cerchiamo \u00e8 \"Y=\frac{X}{1000}\" ed \u00e8 una variabile aleatoria binomiale di parametri \"B(1000,0.40)\" ed \u00e8 data da:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P[Y]=P\left [ \frac{X}{1000} \right ]=\binom{1000}{n}0.4^x(1-0.4)^{1-n}\]\"<\/p>\n

La probabilit\u00e0 richiesta \u00e8 data da:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P\left [ \frac{X}{1000} \ge0.38 \right ]=\sum_{n=380}^{1000}\binom{1000}{n}0.4^n(1-0.4)^{1-n}\]\"<\/p>\n

Per \"n \to +\infty\" la variabile campionaria \"Y=\frac{X}{1000}\" tende ad una distribuzione normale di parametri \"N(\mu,\sigma^2)\" dove<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mu=p,\quad \sigma^2=\frac{p(1-p)}{n}\]\"<\/p>\n

e quando il campione \u00e8 sufficientemente grande possiamo approssimare la distribuzione binomiale con la distribuzione normale come segue:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P\left [ Z\ge \frac{\frac{X}{n}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \right ]=P\left[Z\ge\frac{0.38-0.40}{\sqrt{\frac{0.4\cdot 0.6}{1000}}}\right]=P[Z\ge-1.29]=1-\phi(-1.29)=\phi(1.29)=0.90147\]\"<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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